Практические измерения
Значение ёмкости конденсатора обозначается на корпусе в дробных фарадах или с помощью цветового кода. Но со временем компоненты способны потерять свои качества, поэтому для некоторых критических случаев последствия могут быть неприемлемыми. Существуют и другие обстоятельства, требующие измерений. Например, необходимость знать общую ёмкость цепи или части электрооборудования. Приборов, осуществляющих непосредственное считывание ёмкости, не существует, но значение может быть вычислено вручную или интегрированными в измерительные устройства процессорами.
Для обнаружения фактической ёмкости нередко используют осциллограф как средство измерения постоянной времени (т). Эта величина обозначает время в секундах, за которое конденсатор заряжается на 63%, и равна произведению сопротивления цепи в омах на ёмкость цепи в фарадах: т=RC. Осциллограф позволяет легко определить постоянную времени и даёт возможность с помощью расчётов найти искомую ёмкость.
Существует также немало моделей любительского и профессионального электронного измерительного оборудования, оснащённого функциями для тестирования конденсаторов. Многие цифровые мультиметры обладают возможностью определять ёмкость. Эти устройства способны контролируемо заряжать и разряжать конденсатор известным током и, анализируя нарастание результирующего напряжения, выдавать довольно точный результат. Единственный недостаток большинства таких приборов — сравнительно узкий диапазон измеряемых величин.
Вам это будет интересно Характеристика и схема подключения электросчётчика СО-505
Заряды конденсатора
Электрическая энергия, как и любой другой вид энергии, зависит исключительно от состояния системы, и не зависит от способа, которым данная система пришла в такое состояние.
Электрическая энергия заряженного конденсатора зависит от заряда (q), который находится на его обкладках или напряжением между ними (U).
Каким образом конденсатор был заряжен, не влияет на энергию, запасенную в нем. Допустим, что изначально конденсатор не заряжен. Это значит, что на каждой из его обкладок есть и положительный заряд и отрицательный, они одинаковы, и в результате суммарный заряд проводников равен нулю. Станем заряжать конденсатор небольшими порциями dq, перенося порции заряда с отрицательной обкладки на положительную. На практике это осуществляется с помощью соединения обкладок конденсатора проводом, в котором включён источник ЭДС. Источник ЭДС перекачивает заряд до тех пор пока разность потенциалов обкладок не достигнет заданной величины. Весь этот процесс означает, что внешние по отношению к полю конденсатора силы совершают работу ($\delta A^{vnesh}$) против сил поля равную:
\
где ${\varphi }_1-{\varphi }_2=U$ — разность потенциалов между обкладками. Работа сил поля ($\delta A$) самого конденсатора при этом равна:
\
Зарядка конденсатора
Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или поглощением тепла, изменением плотности диэлектрика. В данном случае будем считать эти эффекты не существенными. Это значит, что мы будем считать, что диэлектрическая проницаемость постоянна ($\varepsilon =const).\ $В таком случае вся работа внешних сил пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора (W). В таком случае мы можем записать:/p>
\
Мы уже сказали, что в процессе зарядки конденсатора $\varepsilon =const$, следовательно, не изменится емкость конденсатора. Проинтегрируем уравнение (3), получим, что:
\
Или зная связь заряда, емкости и потенциала проводника:
\
выражение (4) можно записать как:
\
Пример 1
Задание: Два конденсатора имеют емкости $C_1\ и\ C_2$. Они заряжены до напряжений $U_1\ и\ U_2$ соответственно. Конденсаторы соединили параллельно. Определите, какое количество тепла выделится при таком соединении?
Рис. 1
Решение:
Потенциалы обкладок, которые соединили стали одинаковыми. По закону сохранения сумма заряда на обкладках конденсаторов сохранилась.
Значит можно записать следующее:
\
где $q_1; q_2$ заряды конденсаторов до того как их соединили, соответственно $\widetilde{q_1};;\widetilde{q_2}$ — заряды конденсаторов после их соединения. Причем:
\
\
Количество тепла, которое выделится при соединении конденсаторов равно:
\
где $W_1$ — суммарная энергия конденсаторов до соединения, $W_2$ — сумма энергий полей конденсаторов после соединения. Причем:
\
\
Подставим (1.5) и (1.4) в уравнение (1.3), получим:
\
Емкость параллельного соединения конденсаторов (С) найдем как:
\
Если уравнение (1.1) переписать, заменив заряды, на соответствующие произведения емкостей и разностей потенциалов, то получим:
\
Выразим из (1.8) разность потенциалов на конденсаторах после их соединения:
\
Подставим (1.9) в (1.6) найдем искомую теплоту:
\
Ответ: $Q=\frac{C_1C_2{\left(U_1-U_2\right)}^2}{2{(C}_1+C_2)}.$
Пример 2
Задание: Площадь обкладок плоского воздушного конденсатора равна $S$. Какую работу следует совершить, чтобы увеличить расстояние между обкладками конденсатора от $d_1$ до $d_2$. Если при этом постоянным поддерживается разность потенциалов (U) на конденсаторе. Процесс проводится медленно.
Решение:
Процесс проводится медленно, будем считать, что выделения тепла в системе не происходит, в таком случае изменение внутренней энергии конденсатора равно работе по перемещению обкладок, то есть запишем:
\
Если неизменным остается напряжение на обкладках конденсатора в ходе наших манипуляций, а изменение энергии поля конденсатора происходит за счет изменения емкости, то выражение для энергии поля удобнее использовать в виде:
\
В таком случае имеем:
\
где $C_2,C_1$ — емкости конденсатора до увеличения и после увеличения расстояния между обкладками. Емкость плоского конденсатора может быть найдена по формуле:
\
где $\varepsilon $=1, так как по условию задачи конденсатор воздушный. Используем (2.4), подставим в (2.3) выражения для емкостей конденсатора в двух заданных состояниях, получим:
\
Ответ: $A=\frac{1}{2}U^2\varepsilon {\varepsilon }_0S\left(\frac{d_2-d_1}{d_2d_1}\right).$
Влияют ли геометрические размеры источника питания на величину его удельной мощности?
Прежде всего, необходимо обратить внимание на то, что увеличение КПД источника питания обычно всегда приводит к уменьшению его геометрических размеров, ведь удельная мощность, фактически, равна отношению выходной мощности устройства к объему «коробки», занимаемой его компонентами (длина × ширина × высота). При проектировании любого источника питания разработчики, в первую очередь, стараются уменьшить размеры пассивных силовых компонентов, принципиально необходимых для его работы: конденсаторов, дросселей и трансформаторов. Использование приборов, изготовленных из полупроводников с широкой запрещенной зоной (Wide-Bandgap, WBG), в том числе и транзисторов, изготовленных по технологиям GaN-на-SiC, позволяет повысить рабочую частоту преобразования современных источников питания и, тем самым, уменьшить размеры пассивных компонентов
Однако увеличение частоты переключений приводит к увеличению динамических потерь, что, в свою очередь, приводит к увеличению температуры полупроводниковых приборов. На практике эти проблемы решаются как с помощью инновационных систем охлаждения, так и с помощью специализированных схем управления силовыми транзисторами
Использование приборов, изготовленных из полупроводников с широкой запрещенной зоной (Wide-Bandgap, WBG), в том числе и транзисторов, изготовленных по технологиям GaN-на-SiC, позволяет повысить рабочую частоту преобразования современных источников питания и, тем самым, уменьшить размеры пассивных компонентов. Однако увеличение частоты переключений приводит к увеличению динамических потерь, что, в свою очередь, приводит к увеличению температуры полупроводниковых приборов. На практике эти проблемы решаются как с помощью инновационных систем охлаждения, так и с помощью специализированных схем управления силовыми транзисторами.
Кроме того, члены PSMA разработали несколько оригинальных методов интеграции на основе объемной компоновки, использование которых позволяет сократить объем «коробки», занимаемой источником питания.
Объемный монтаж
Размеры печатной платы ограничены во многих приложениях, поэтому специалисты PSMA пошли по пути вертикального размещения элементов источников питания (3D-stacking). В этом случае контроллер, активные и пассивные компоненты, в том числе и индуктивные, располагаются друг над другом в виде сложной многослойной конструкции.
При использовании объемного монтажа силовые элементы устанавливаются на нескольких печатных платах, причем некоторые компоненты даже могут устанавливаться в плоскости платы в специальных отверстиях. Взаимное расположение печатных плат внутри литого корпуса также тщательно продумывается и оптимизируется. В конечном итоге, использование объемного монтажа позволяет увеличить удельную мощность готового модуля и значительно уменьшить общую длину соединений между компонентами.
Кроме того, в новых разработках активно используются и другие передовые технологии, в числе которых и методы, позволяющие уменьшить размеры печатных плат до такой степени, когда можно полностью отказаться от их применения, что также позволяет дополнительно увеличить объемную удельную мощность (Вт/см3).
Соединения конденсаторов
Для получения необходимой емкости конденсаторы соединяют между собой в батареи, применяя при этом параллельное, последовательное и смешанное соединения.
Параллельное соединение
При параллельном соединении конденсаторов одни обкладки всех конденсаторов соединяются в один узел, другие — в другой узел (рис. 5).
Общий заряд равен алгебраической сумме зарядов каждой из обкладок отдельных конденсаторов:
Так как соединенные обкладки представляют собой один проводник, то потенциалы всех соединенных в один узел обкладок одинаковы и разность потенциалов между обкладками всех конденсаторов одинакова:
Так как q = C∙U, q1 = C1∙U, q2 = C2∙U, q3 = C3∙U, то \(~C \cdot U = C_1 \cdot U + C_2 \cdot U + C_3 \cdot U \Rightarrow\)
Емкость батареи параллельно соединенных конденсаторов равна сумме емкостей отдельных конденсаторов.
Если параллельно соединяют n одинаковых конденсаторов, то
Последовательное соединение
При последовательном соединении конденсаторов (рис. 6) потенциал соединенных между собой обкладок конденсаторов одинаков.
Если сообщить одной из обкладок первого конденсатора заряд +q, то у второй обкладки будет заряд —q, у соседней обкладки второго конденсатора заряд +q и т.д. Следовательно,
Напряжение на батарее равно сумме напряжений на всех конденсаторах:
Так как \(~U = \dfrac qC\) ; \(~U_1 = \dfrac{q}{C_1}\) ; \(~U_2 = \dfrac{q}{C_2}\) ; \(~U_3 = \dfrac{q}{C_3}\) , то \(~\dfrac{q}{C} = \dfrac{q}{C_1} + \dfrac{q}{C_2} + \dfrac{q}{C_3} \Rightarrow\)
Величина, обратная емкости батареи последовательно соединенных конденсаторов, равна сумме величин, обратных емкостям отдельных конденсаторов.
Если последовательно соединены n одинаковых конденсаторов, то \(~C = \dfrac{C_1}{n}\).
Зарядка конденсатора
Зарядка конденсатора может сопровождаться выделением или поглощением тепла, изменением плотности диэлектрика. В данном случае будем считать эти эффекты не существенными. Это значит, что мы будем считать, что диэлектрическая проницаемость постоянна ($\varepsilon =const).\ $В таком случае вся работа внешних сил пойдет на увеличение электрической энергии конденсатора (W). В таком случае мы можем записать:/p>
\
Мы уже сказали, что в процессе зарядки конденсатора $\varepsilon =const$, следовательно, не изменится емкость конденсатора. Проинтегрируем уравнение (3), получим, что:
Или зная связь заряда, емкости и потенциала проводника:
выражение (4) можно записать как:
Конденсатор с частичным заполнением-1.
В качестве дополнительной тренировки рассчитаем силу,
действующую на единице поверхности диэлектрика, если заряженный конденсатор
заполнен им не полностью, а частично. Конденсатор отключен от источника питания.
Сначала рассмотрим следующую конфигурацию (рис.16.6).
Данный конденсатор можно рассматривать как два конденсатора, соединенных последовательно.
Тогда их емкости соответственно
и
, а общая емкость
Энергия конденсатора
Тогда в соответствии с (16.34)
(16.54)Если e1<e2,
то Fx<0.
Если e1>e2,
то Fx>0.
Очевидно, что диэлектрик втягивается в область с меньшей диэлектрической
проницаемостью. Направление силы легко было определить, как силу, действующую
со стороны поля на поляризационный заряд. И, наконец, если конденсатор заполнится
полностью диэлектриком с большей диэлектрической проницаемостью, то его энергия
станет меньше в соответствии с принципом минимума.
Выразим формулу (16.54) через характеристики поля, учитывая, что
Q=sS=DS. Заметим, что индукции по обе стороны от границы одинаковы. Тогда
Следовательно, сила, приходящаяся на единицу площади пластин конденсатора, численно равна разности
плотности энергий
(16.57)
Сравните с (16.38) и вспомните, что снаружи конденсатора
поля нет. Заметим только, что (16.38) — это сила, действующая на заряженную
пластину (обкладку), а (16.57) — сила, действующая на поверхность диэлектрика.
Они отличаются знаками, но по модулю равны, ведь третий закон Ньютона должен выполняться и здесь.
Эту же формулу можно получить быстрее, используя (16.30) и (16.31).
где V1=Sx, V2=S(d-x)
— объемы областей, заполненных каждым диэлектриком. При смещении границы плотности
энергии не меняются. После дифференцирования вновь получаем формулу (16.57).
§16. Превращение энергии в электрических и магнитных явлениях
16.3 Энергия заряженного конденсатора.
Ранее мы вычислили энергию поля между двумя между двумя параллельными равномерно заряженными пластинами, то есть внутри плоского воздушного конденсатора. Полученное выражение для энергии поля
\(~W = \frac{\varepsilon_0 E^2}{2} Sh\) , (1)
может быть выражено через емкость конденсатора. Учитывая что, напряженность поля внутри конденсатора может быть выражена как через его заряд Q, так и через его напряжение U
\(~E = \frac{U}{h} = \frac{Q}{\varepsilon_0 S}\) , (2)
энергия конденсатора (1) также может быть выражена через эти величины
\(~W = \frac{\varepsilon_0 S U^2}{2h} = \frac{Q^2 h}{2\varepsilon_0 S}\) . (3)
В этих формулах появляется введенная характеристика конденсатора – его электроемкость \(~C = \frac{\varepsilon_0 S}{h}\), поэтому энергия конденсатора выражается через его емкость
\(~W = \frac{C U^2}{2} = \frac{Q^2}{2 C}\) . (4)
Важно отметить, что последние формулы справедливы для любого конденсатора, а не только для плоского и воздушного, как было получено ранее. Для доказательства этого утверждения рассмотрим процесс зарядки конденсатора, который мы представим как последовательное перенесение зарядов с одной обкладки на другую
Работа, совершенная в этом процессе, пойдет на увеличение энергии конденсатора. Поэтому, рассчитав работу при изменении заряда обкладки от нуля до конечного значения, мы найдем энергию заряженного конденсатора.
При расчете указанной работы следует учесть, что работа по перенесению порции заряда зависит от уже имеющегося заряда на обкладках, поэтому следует рассматривать перенесение заряда малыми порциями. Пусть заряд конденсатора равен q, затем с отрицательно заряженной пластины мы забираем малую порцию положительного заряда и переносим его на положительно заряженную пластину (Рис. 143). Этому переносу препятствуют силы со стороны электрического поля, поэтому необходимо совершать работу по перемещению заряда, которая равна
\(~\delta A = U \Delta q\) , (5)
где U — напряжение между обкладками конденсатора, которое выражается через его заряд и емкость \(~U = \frac{q}{C}\), следовательно,
\(~\delta A = U \Delta q = \frac{q \Delta q}{C}\) . (6)
Здесь мы использовали новое обозначение для работы δA, совершенной по перемещению малой порции заряда Δq. Различие в обозначениях малых величин не случайно. По-прежнему знак Δ («дельта большое») означает изменение некоторой величины, то есть разность между конечным и начальным значением Δx = xконечное − xначальное. Знак δ («дельта малое») здесь и в дальнейшем используется для обозначения характеристики процесса на малом его участке. Можно говорить об изменении энергии системы в указанном выше смысле ΔW = xконечное − xначальное. Говорить об «изменении» работы или количества теплоты не имеет смысла, так как никакая физическая система не обладает ни работой, ни теплотой — работа и теплота являются характеристиками процесса, при котором происходит изменение энергии, они могут быть представлены в виде разности каких-то физических величин, поэтому мы будем их обозначать δA, δQ.
Полученное выражение (6) необходимо просуммировать по всем порциям переносимых зарядов, которое можно провести различными способами. Построим график зависимости напряжения конденсатора от его заряда U(q) (Рис. 144). Площадь зачерненной полоски шириной Δq и высотой U(q) численно равна работе (5) по перенесению порции заряда Δq с одной обкладки на другую, при напряжении между ними равном U. Поэтому полная работа при изменении заряда конденсатора от нуля до конечного значения Q численно равна площади выделенного треугольника
\(~A = \frac{1}{2} QU = \frac{Q^2}{2 C} = \frac{CU^2}{2}\) . (7)
Эта работа и равна энергии заряженного конденсатора. Полученные выражения совпадают с ранее выписанными формулами (4). Заметим, что в последнем их выводе нигде не использованы предположения о размере конденсатора, его форме, типе диэлектрика и т.д., то есть мы доказали, что они справедливы для любого конденсатора.
Суммирование выражения (6) можно выполнить и «алгебраически», если вспомнить неоднократно применяемое нами выражение, справедливое для малых изменений \(~q \Delta q = \frac{1}{2} \Delta (q^2)\). Но использованный нами способ допускает полезное обобщение: при любой зависимости напряжения конденсатора от заряда, площадь под графиком зависимости U(q) численно равна работе по зарядке конденсатора.
Меры предосторожности
Выше был приведен пример с банкой воды. Там говорилось, что если воды налить больше, то воды выльется. А теперь подумайте, куда могут «вылиться» электроны в конденсаторе? Ведь он запечатан полностью!
Если вы подадите в цепи больше тока, чем тот, на который рассчитан конденсатор, то как только он зарядится, его излишек попытается выйти куда-то. А пространства свободного нет. Результатом будет взрыв. В случае незначительного превышения заряда хлопок будет небольшой. Но если подать колоссальное количество электронов на конденсатор, его просто разорвет, и диэлектрик вытечет.
Будьте аккуратны!
Емкость
Емкостью конденсатора является физическая величина, которая определяет отношение между накопленным зарядом на обкладках и разностью потенциалов между ними.
В системе «СИ» емкость конденсатора и ее единица измерения — Фарад. В формулах для ее обозначения используется буква Ф (F). Однако емкость конденсатора редко измеряется в Фарадах, потому что это довольно большая величина. Чаще всего применяют ее кратные и дольные значения.
Значение электроемкости конденсатора всегда можно найти в маркировке устройства, которая нанесена на его корпус.
На схеме элемент обозначается буквой «С». Обозначение емкости является обязательным условием, ведь это позволит упростить процесс подбора необходимой электродетали для схемы.
§ 24. Энергия электростатического поля конденсатора
Процесс зарядки конденсатора можно представить как перенос заряда q с одной обкладки на другую, в результате чего одна из них приобретает заряд –q, а другая — +q. Работа, совершённая при этом внешней силой, равна энергии электростатического поля заряженного конденсатора.
Рис. 125
Убедиться в том, что заряженный конденсатор обладает энергией, можно на опыте. Соберём электрическую цепь, состоящую из источника тока, конденсатора и электрической лампы. Схема цепи представлена на рисунке 125. Зарядим конденсатор, подсоединив его к источнику тока. Затем, отключив конденсатор от источника тока, подсоединим его к лампе. При этом наблюдаем кратковременную вспышку света. В данном случае во время разрядки конденсатора энергия, запасённая им при зарядке, превращается во внутреннюю энергию спирали лампы, часть этой энергии расходуется на излучение света. При прохождении электрического тока по цепи с источником тока конденсатор заряжался, т. е. на его обкладках накапливались электрические заряды. При этом в окружающем конденсатор пространстве возникло электростатическое поле. Суммарный электрический заряд обеих обкладок конденсатора до его зарядки, во время зарядки и после разрядки конденсатора равен нулю. Единственное изменение, которое произошло при разрядке конденсатора, заключается в том, что исчезло электростатическое поле, которое создавалось зарядами обеих обкладок конденсатора. Следовательно, энергией обладало электростатическое поле, образованное зарядами обкладок заряженного конденсатора.
Рис. 125.1
Если форма и размеры обкладок конденсатора, а также расстояние между ними и диэлектрические свойства среды, заполняющей пространство между обкладками, остаются неизменными, то напряжение на конденсаторе прямо пропорционально модулю заряда его обкладок (рис. 125.1). Чтобы увеличить модуль заряда на обкладках от qi до qi + δq, внешней силе необходимо совершить работу по перемещению бесконечно малой положительной порции заряда δq с отрицательной обкладки на положительную. Этой работе на рисунке 125.1 соответствует площадь заштрихованного столбика. Полная же работа Авнеш по зарядке конденсатора до напряжения U равна сумме площадей всех аналогичных столбиков, т. е. площади фигуры под графиком зависимости U(q). В данном случае — площади треугольника, равной половине произведения его основания на высоту:
Приращение энергии электростатического поля заряженного конденсатора равно работе, совершённой внешней силой при его зарядке:
Учитывая, что q = CU, формулу для определения энергии электростатического поля заряженного конденсатора можно записать в виде:
, или .
Энергию электростатического поля заряженного плоского конденсатора можно выразить через напряжённость поля, сосредоточенного между его обкладками (рис. 125.2). Электроёмкость плоского конденсатора , напряжение между обкладками U = Ed. Следовательно,
где V = Sd — объём пространства между обкладками конденсатора.
От теории к практике
Как изменится энергия электростатического поля заряженного конденсатора при увеличении расстояния между его обкладками, если: а) конденсатор отключён от источника тока; б) конденсатор подключён к источнику тока?
Емкость – основное свойство конденсатора
Прежде чем рассматривать энергию конденсатора, следует остановиться на его основном свойстве – емкости. Когда двум проводникам, изолированным один от другого, сообщаются заряды q1 и q2, между ними наблюдается появление определенной разности потенциалов Δφ. Данная разность полностью зависит от величины зарядов и геометрической конфигурации проводников. Эта величина, возникающая в электрическом поле между двумя точками, известна также, как напряжение, обозначаемое символом U.
Наибольшее практическое значение имеют заряды проводников с одинаковым модулем и противоположными знаками: q1 = – q2 = q. С их помощью выводится такое понятие, как электрическая емкость системы, состоящей из двух проводников. Данная категория представляет собой физическую величину, в которой заряд q какого-либо проводника, соотносится с разностью потенциалов Δφ. В виде формулы это будет выглядеть следующим образом: Системой СИ в качестве единицы электроемкости установлен фарад, который равен: 1Ф = 1Кл/1В
Электроемкость может иметь разную величину, в зависимости от форм и размеров проводников, а также от свойств диэлектрика, разделяющего эти проводники. Изменение значения емкости позволяет определить, как изменится энергия электрического поля конденсатора при использовании некоторых конфигураций проводников возникает электрическое поле, сосредоточенное лишь на определенном участке. Подобные системы получили название конденсаторов, в которых функцию обкладок выполняют проводники.
Конструкция простейшего конденсатора включает в себя две плоские проводящие пластины, расположенные параллельно между собой на расстоянии, меньшем, чем толщина самих пластин. Обе пластины разделяет слой диэлектрика. Такая система получила название плоского конденсатора. Его электрическое поле локализуется преимущественно между пластинами. Кроме того, слабое поле возникает около краев пластин, а также в окружающем их пространстве. Оно называется полем рассеяния, которое не оказывает существенного влияния на многие решаемые задачи. Поэтому в большинстве случаев учитывается только электрическое поле, сосредоточенное только между обкладками конденсатора.
Модуль напряженности электрического поля, создаваемого заряженными пластинами плоского конденсатора, представляет собой соотношение: Е1 = Ϭ/2ε0. Соответственно, сумма напряженности каждой пластины, равна общей напряженности поля. Положительные и отрицательные векторы напряженности, расположены параллельно внутри конденсатора, поэтому напряженность суммарного поля будет равна: Е = 2Е1 = Ϭ/ε0. Вне пластин положительный и отрицательный векторы оказываются направленными в разные стороны, в связи с чем Е = 0.
Заряд пластин обладает поверхностной плотностью Ϭ, равной q/S. В данной формуле q является величиной заряда, а S – площадью пластин. Разность потенциалов (Δφ) однородного электрического поля будет равна Ed, где величина d является расстоянием между пластинами. После соединения всех этих соотношений, получается формула, определяющая электрическую емкость плоского конденсатора:
Из этой формулы видно, что между электроемкостью плоского конденсатора и площадью обкладок существует прямая пропорция, и обратная пропорция с расстоянием между этими обкладками.